Bonjour,
Effectivement vous avez raison, lorsqu’un échéancier comprend une échéance brisée il n’est pas possible de retrouver le taux débiteur contractuel et ceci pour diverses raisons :
1) => La première - qui est la principale - est que l’équation « type 5 bis » utilisée qui, en mode actuariel avec exposants d’actualisation « en années/fraction d’année » ne fait, en réalité, que reprendre la formule similaire en mode proportionnel avec exposants d’actualisation « en périodes/fraction période » publiée par l’AFB suite au décret 85-944 sur le TEG du 4/09/1985, ne permet pas de calculer correctement le taux débiteur contractuel en présence d'une première échéance brisée.
Cette équation est donc tout à fait pertinente et fiable pour un calcul de TEG puisqu’elle a été pensée à cette fin mais pas pour le taux nominal proportionnel si l’échéancier comprend une échéance brisée.
En reprenant votre démonstration ci-dessus, l’explication vient du fait que les intérêts compris dans la première échéance sont calculés en intérêts simples au taux de 2% alors qu’avec la formule « type 5bis » il y a une capitalisation desdits intérêts avec la périodicité « 21/(365/12) » mois.
Cf simulation N° 2 « Cas Casaminor » ci-jointe = montant intérêts requis pour obtenir taux débiteur de 2% = 281,90€………..mais ce montant est en réalité calculé, en intérêts simples, au taux de 2,09985…..%.
Les autres raisons sont plus accessoires mais ont cependant des incidences sur le résultat calculé ; ce sont :
2) => Le degré de précision dans les tableurs dont Excel.
Dans la « Simulation N°1 » (Bandeau jaune) du fichier Excel « Comparaisons» joint, bien qu’aucun arrondi n’ait été pratiqué l’on voit que, cependant, le résultat n’est pas strictement égal à 2%.
=> Incidence à la hausse qui n’est sensible que sur la 14è décimale soit ; mais incidence cependant.
Ce n’est pas une découverte ; je l’avais déjà démontré dans ce billet :
3) => Le mode de calcul retenu pour les intérêts compris dans cette première échéance.
Le décret n° 2016-607 du 13 mai 2016 qui introduit une notion d’échéance zéro fictive et un calcul additionnel sur les jours résiduels nous conduit à une interprétation différente.
La vôtre est d’ignorer ce décret pour procéder au calcul « Exact/Exact » :
+ 100.000€ x 2% / 365 x 49 = 268,49€
La mienne en appliquant ce décret
+ (100.000€ x 2% /12) + (100.000€ x 2% / 365 * 21) = 281,74€
=> Soit 281,74€ - 268,49€ = 13,25€ en plus.
Ce cas est situé dans les 5 mois / 12 (= 5 mois inférieurs à 30,41666….jours) où cette pratique est défavorable à l’emprunteur du fait du mois de 28 jours en février :
=> (((365/12) + 21) - 49) = 2,41666…jours d’intérêts en plus.
Dans cette recherche il semble donc bien nécessaire que soit par un texte, soit par une jurisprudence, la bonne méthode de calcul soit précisée.
4) => La méthode d’arrondis retenue.
Dans les fichiers joints, afin d’éviter toute pollution de ce fait, je n’ai procédé à aucun arrondi.
Mais, dans la pratique, il y aura forcément des arrondis ne serait-ce que l’arrondi monétaire à deux décimales sur les échéances réellement payées.
Ces arrondis devraient respecter deux règles de bon sens d’ailleurs rappelées lors du passage à l’euro :
=> Ce sont ces quatre raisons qui, séparément et/ou cumulativement, dans un échéancier avec une première échéance brisée, empêchent de retrouver strictement le bon taux débiteur contractuel.
Même si pour contourner le problème de l’échéance brisée qui résulte d’une période majorée ou minorée l’on procède à deux calculs ; l’un avec une durée arrondie par excès (= 121 mois dans l’exemple) et l’autre avec une durée arrondie par défaut (= 120 mois dans l’exemple) et que l’on procède ensuite à une interpolation des résultats ainsi qu’évoqué dans des échanges antérieurs, l’on aura un taux débiteur approchant la réalité mais qui, stricto sensu, restera inexact.
Si un échéancier comporte une échéance brisée, il n’y a donc pas de méthode, ni celle-ci ni une autre, pour - en valeur absolue - retrouver le taux nominal proportionnel réel et vérifier s’il est ou non conforme au taux débiteur contractuel.
Mais, en vue de cette vérification, il existe un moyen qui - en valeur relative - permet de contrôler que le taux nominal proportionnel réellement utilisé respecte le taux débiteur stipulé au contrat.
Cet artifice est certes un peu plus compliqué mais peut satisfaire à ce besoin de vérification ; il faudrait alors pratiquer ainsi :
=> Première démarche :
+ Bâtir un premier tableau d’amortissement avec les caractéristiques exactes du crédit et bien calculé c'est-à-dire :
+ -+- Calculs au taux débiteur contractuel
+ -+- Bonne méthode de calcul des intérêts (décret mai 2016 ou non) ; encore faudrait-il la connaître ?
+ -+- Mois normalisé pour échéances pleines
+ -+- « Exact/Exact » pour première échéance brisée
+ -+- Bons arrondis
+ -+- Équation « type 5bis »
=> En résultat l’on obtiendra un taux nominal proportionnel inexact en valeur absolue mais qui peut servir de référence car, par construction, l’on sait qu’il aura été bien calculé et avec le bon taux débiteur contractuel.
=> Seconde démarche :
+ Quelle que soit la façon dont il a été bâti, prendre la tableau d’amortissement réel dont l’on veut contrôler le taux débiteur réellement appliqué.
+ -+- Avec le même moyen (= outil),
+ -+- Toujours utiliser la même équation « type 5bis »
=> En résultat l’on obtiendra un taux nominal proportionnel également inexact en valeur absolue mais qui peut être directement comparé au taux de référence issu de la première démarche ci-dessus puisque calculé de la même façon ; avec la même procédure et le même outil.
=> Si ce second résultat indique un taux au plus égal audit taux de référence l’on peut en déduire avec certitude que le taux débiteur contractuel a été respecté.
=> Au contraire, si ce second résultat affiche un taux supérieur audit taux de référence l’on peut en déduire avec certitude que le taux débiteur contractuel n’a pas été respecté.
Dans le fichier Excel « Comparaisons » ci-joint, en comparant le taux débiteur calculé sur des bases exactes dans la simulation N° 2 (bandeau gris) avec la simulation N° 4 (bandeau rose saumon) calculé de façon illégale en « Exact/360 » vous aurez dans le tableau comparatif de synthèse, tout à fait à droite, une démonstration concrète/chiffrée de cet artifice.
Dès lors l’on peut penser que le même problème qui se poserait dans l’éventualité d’échéanciers apériodiques pourrait être réglé de façon tout aussi indirecte via ce procédé de comparaisons en valeurs relatives.
Cdt
Effectivement vous avez raison, lorsqu’un échéancier comprend une échéance brisée il n’est pas possible de retrouver le taux débiteur contractuel et ceci pour diverses raisons :
1) => La première - qui est la principale - est que l’équation « type 5 bis » utilisée qui, en mode actuariel avec exposants d’actualisation « en années/fraction d’année » ne fait, en réalité, que reprendre la formule similaire en mode proportionnel avec exposants d’actualisation « en périodes/fraction période » publiée par l’AFB suite au décret 85-944 sur le TEG du 4/09/1985, ne permet pas de calculer correctement le taux débiteur contractuel en présence d'une première échéance brisée.
Cette équation est donc tout à fait pertinente et fiable pour un calcul de TEG puisqu’elle a été pensée à cette fin mais pas pour le taux nominal proportionnel si l’échéancier comprend une échéance brisée.
En reprenant votre démonstration ci-dessus, l’explication vient du fait que les intérêts compris dans la première échéance sont calculés en intérêts simples au taux de 2% alors qu’avec la formule « type 5bis » il y a une capitalisation desdits intérêts avec la périodicité « 21/(365/12) » mois.
Cf simulation N° 2 « Cas Casaminor » ci-jointe = montant intérêts requis pour obtenir taux débiteur de 2% = 281,90€………..mais ce montant est en réalité calculé, en intérêts simples, au taux de 2,09985…..%.
Les autres raisons sont plus accessoires mais ont cependant des incidences sur le résultat calculé ; ce sont :
2) => Le degré de précision dans les tableurs dont Excel.
Dans la « Simulation N°1 » (Bandeau jaune) du fichier Excel « Comparaisons» joint, bien qu’aucun arrondi n’ait été pratiqué l’on voit que, cependant, le résultat n’est pas strictement égal à 2%.
=> Incidence à la hausse qui n’est sensible que sur la 14è décimale soit ; mais incidence cependant.
Ce n’est pas une découverte ; je l’avais déjà démontré dans ce billet :
3) => Le mode de calcul retenu pour les intérêts compris dans cette première échéance.
Le décret n° 2016-607 du 13 mai 2016 qui introduit une notion d’échéance zéro fictive et un calcul additionnel sur les jours résiduels nous conduit à une interprétation différente.
La vôtre est d’ignorer ce décret pour procéder au calcul « Exact/Exact » :
+ 100.000€ x 2% / 365 x 49 = 268,49€
La mienne en appliquant ce décret
+ (100.000€ x 2% /12) + (100.000€ x 2% / 365 * 21) = 281,74€
=> Soit 281,74€ - 268,49€ = 13,25€ en plus.
Ce cas est situé dans les 5 mois / 12 (= 5 mois inférieurs à 30,41666….jours) où cette pratique est défavorable à l’emprunteur du fait du mois de 28 jours en février :
=> (((365/12) + 21) - 49) = 2,41666…jours d’intérêts en plus.
Dans cette recherche il semble donc bien nécessaire que soit par un texte, soit par une jurisprudence, la bonne méthode de calcul soit précisée.
4) => La méthode d’arrondis retenue.
Dans les fichiers joints, afin d’éviter toute pollution de ce fait, je n’ai procédé à aucun arrondi.
Mais, dans la pratique, il y aura forcément des arrondis ne serait-ce que l’arrondi monétaire à deux décimales sur les échéances réellement payées.
Ces arrondis devraient respecter deux règles de bon sens d’ailleurs rappelées lors du passage à l’euro :
=> Ce sont ces quatre raisons qui, séparément et/ou cumulativement, dans un échéancier avec une première échéance brisée, empêchent de retrouver strictement le bon taux débiteur contractuel.
Même si pour contourner le problème de l’échéance brisée qui résulte d’une période majorée ou minorée l’on procède à deux calculs ; l’un avec une durée arrondie par excès (= 121 mois dans l’exemple) et l’autre avec une durée arrondie par défaut (= 120 mois dans l’exemple) et que l’on procède ensuite à une interpolation des résultats ainsi qu’évoqué dans des échanges antérieurs, l’on aura un taux débiteur approchant la réalité mais qui, stricto sensu, restera inexact.
Si un échéancier comporte une échéance brisée, il n’y a donc pas de méthode, ni celle-ci ni une autre, pour - en valeur absolue - retrouver le taux nominal proportionnel réel et vérifier s’il est ou non conforme au taux débiteur contractuel.
Mais, en vue de cette vérification, il existe un moyen qui - en valeur relative - permet de contrôler que le taux nominal proportionnel réellement utilisé respecte le taux débiteur stipulé au contrat.
Cet artifice est certes un peu plus compliqué mais peut satisfaire à ce besoin de vérification ; il faudrait alors pratiquer ainsi :
=> Première démarche :
+ Bâtir un premier tableau d’amortissement avec les caractéristiques exactes du crédit et bien calculé c'est-à-dire :
+ -+- Calculs au taux débiteur contractuel
+ -+- Bonne méthode de calcul des intérêts (décret mai 2016 ou non) ; encore faudrait-il la connaître ?
+ -+- Mois normalisé pour échéances pleines
+ -+- « Exact/Exact » pour première échéance brisée
+ -+- Bons arrondis
+ -+- Équation « type 5bis »
=> En résultat l’on obtiendra un taux nominal proportionnel inexact en valeur absolue mais qui peut servir de référence car, par construction, l’on sait qu’il aura été bien calculé et avec le bon taux débiteur contractuel.
=> Seconde démarche :
+ Quelle que soit la façon dont il a été bâti, prendre la tableau d’amortissement réel dont l’on veut contrôler le taux débiteur réellement appliqué.
+ -+- Avec le même moyen (= outil),
+ -+- Toujours utiliser la même équation « type 5bis »
=> En résultat l’on obtiendra un taux nominal proportionnel également inexact en valeur absolue mais qui peut être directement comparé au taux de référence issu de la première démarche ci-dessus puisque calculé de la même façon ; avec la même procédure et le même outil.
=> Si ce second résultat indique un taux au plus égal audit taux de référence l’on peut en déduire avec certitude que le taux débiteur contractuel a été respecté.
=> Au contraire, si ce second résultat affiche un taux supérieur audit taux de référence l’on peut en déduire avec certitude que le taux débiteur contractuel n’a pas été respecté.
Dans le fichier Excel « Comparaisons » ci-joint, en comparant le taux débiteur calculé sur des bases exactes dans la simulation N° 2 (bandeau gris) avec la simulation N° 4 (bandeau rose saumon) calculé de façon illégale en « Exact/360 » vous aurez dans le tableau comparatif de synthèse, tout à fait à droite, une démonstration concrète/chiffrée de cet artifice.
Dès lors l’on peut penser que le même problème qui se poserait dans l’éventualité d’échéanciers apériodiques pourrait être réglé de façon tout aussi indirecte via ce procédé de comparaisons en valeurs relatives.
Cdt
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