Allez, une dernière et j’arrête ... Problème de math spé :
Soit x ∈ G. Pour y ∈ G, posons σx
= xy. σx est une application de G dans lui-même. Ensuite, pour tout y ∈ G,
σx ◦ σx−1
= xx−1y = y et σx−1 ◦ σx
= x−1xy = y. Donc, σx ◦ σx−1 = σx−1 ◦ σx = IdG. On sait alors que σx est
une bijection de G sur lui-même ou encore une permutation de G (et de plus, (σx)−1 = σx−1 ).
Soit φ : G → S(G)
x 7 → σx
. D’après ce qui précède, φ est une application de G vers S(G).
Vérifions que φ est un morphisme de groupes, du groupe (G, ×) vers le groupe (S(G), ◦). Soit (x, x′) ∈ G2. Pour tout
y ∈ G,
(φ(x × x′))
= σxx ′
= xx′y = σx ◦ σx ′
= (φ(x) ◦ φ(x′))
et donc φ(x × x′) = φ(x) ◦ φ(x′). On a montré que φ est un morphisme du groupe (G, ×) vers le groupe (S(G), ◦).
Montrons que φ est injectif. On note e l’élément neutre de G. Soit x ∈ G.
x ∈ Ker(φ) ⇒ φ(x) = IdG ⇒ ∀y ∈ G, xy = y ⇒ xe = e
⇒ x = e.
Donc, Ker(φ) = {e} puis φ est injectif.
On sait alors que φ(G) est un sous-groupe de (S(g), ◦). De plus, puisque φ est un morphisme injectif, φ réalise un
isomorphisme du groupe (G, ×) sur le groupe (φ(G), ◦)
==============
ChatGPT en 2 secondes :
La démonstration montre que l'application φ définie par φ(x) = σx est un morphisme de groupes de (G,×) dans (S(G),◦) et que φ est injectif.
Pour montrer que φ est surjectif et donc que φ est un isomorphisme, on doit montrer que pour toute permutation σ de S(G), il existe un élément x de G tel que σ = φ(x).
Soit σ une permutation quelconque de S(G). On cherche un élément x de G tel que φ(x) = σ. Pour tout y de G, on a φ(x)
= xy. On cherche donc x tel que xy = σ
pour tout y de G.
On peut alors définir x comme suit : pour tout y de G, on prend x = σ
y^-1. On a alors
φ(x)
= xy = σ
y^-1 y = σ
Ceci montre que pour toute permutation σ de S(G), il existe un élément x de G tel que φ(x) = σ. Donc φ est surjectif, et donc un isomorphisme entre (G,×) et (φ(G),◦).
