Question technique, calcul a(x)

[fabienpelissier]

Bonjour à tous,

Question pour les experts en calculs mathématiques de rente viagère. Un réel challenge pour moi.

Je suis tombé sur un excellent article sur ce site à propos de la rente viagère et notamment du calcul de la rente.

Dans mon cas j'essaye de comprendre le fonctionnement dans le cadre d'une assurance vie entière mais impossible de vérifier les formules. Ayant pourtant un solide background en math je me sens bête quelqu'un pourrait-il m'aider à comprendre ?

En gros voici l'exemple cité dans le lien que je n'arrive pas à recalculer :

Application de la formule avec un taux d'intérêt technique de 0% pour un bénéficiaire de 67 ans né en 1939, et en utilisant la table de mortalité TPRV 93.
Le résultat donne a67 = 21,0906 (avec un décalage d'âge d'une année) soit un taux de conversion de 4,741%
A 67 ans, un capital de 100.000 € sera converti en une rente viagère de 4.741 € par an.
A noter, dans le cas particulier d'un taux d'intérêt technique à zéro, le coefficient ax représente le nombre d'années (en moyenne) pendant lequel la rente va être versée. Dans notre cas, environ 21 ans. Pour les habitués des formules sur les crédits, vous noterez la similarité entre l'équation des intérêts composés (voir la page calcul TEG) et cette formule de conversion d'un capital en rentes viagères.

Si je calcule tous les kPx de 67 ans à 113 ans (age max dans les tables) avec un taux technique à 0% j'ai donc un Vk à 1 qui n'entre donc pas dans les calculs dans cet exemple (si je ne me trompe pas).

Or la somme des kPx de 67 à 113a est de 37,775 où est l'erreur ? Si j'applique la somme sur seulement 21 ans (jusqu'à l'âge de l'espérance de vie) je tombe sur 20,424 ce qui est beaucoup plus proche mais toujours pas le bon résultat. J'utilise bien les tables TPRV93 comme dans l'exemple... je bloque complètement depuis 2 jours, un coup de pouce serait grandement apprécié.

Merci d'avance,

 

[fabienpelissier]

Personne n'a la moindre idée ? Ou peut-être au moins des pistes de recherche ?
Merci beaucoup d'avance,

 

[ZRR_pigeon]

y'a pas justement un décalage d'une année ?

 

[fabienpelissier]

Justement je l'ai déjà inclus à priori car en faisant la somme des ax de 67ans à 88ans j'obtiens 21,419 (a67 + a68 + ... + a88). Sachant que dans mon exemple je prends a67 = l68 / l67 (sachant que je prends les Ix sur la table TPRV93 et qu'avec un taux technique de 0% j'ai vk = 1).

Je suis un peu dépité de ne pas comprendre. D'autant que j'ai vu ce chiffre sur plusieurs site qui disent tous "donc a67 = 21,09" genre c'est logique ;-) Tous montrent la formule mais personne ne détail le calcul donc soit je me trompe quelque part, soit ils se trompent.

Si vous connaissez des personnes pouvant me débloquer je vous serais très reconnaissant.

 

[paal]

Personne n'a la moindre idée ? Ou peut-être au moins des pistes de recherche ?

Bien entendu que si (enfin pas grand monde tout de même), et j'avais bien lu votre message d'il y a quelques jours, mais pour des raisons particulières, j’ai dû me tenir éloigné de ce forum et prendre une forme de vacances (actives par ailleurs ….)

« Dans mon cas j'essaye de comprendre le fonctionnement dans le cadre d'une assurance (vie entière) mais impossible de vérifier les formules. »

Est-ce juste pour votre culture perso, ou bien avez-vous un cas d’application spécifique ?

« Je suis un peu dépité de ne pas comprendre »

Les méthodes actuarielles, c’est un peu déroutant au début, mais on finit par s’y faire !

« Tous montrent la formule mais personne ne détaille le calcul, donc soit je me trompe quelque part, soit, ils se trompent »

Primo, vérifier que l’on part des mêmes données brutes, et secundo, vérifier aussi que ces données ne sont pas modifiées par un paramètre externe non précisé …

Alors pour répondre à votre question et tenter de vous montrer la démarche, on va d’abord rappeler que nous sommes dans le domaine des statistiques, lesquelles mélangent pour le coup à la fois l’exploitation de tables de survivances (ou de mortalité) et un soupçon de maths financières, puisque l’on procède normalement à une actualisation financière des données obtenues (ceci pour faire simple).

En admettant que l’on ne procède pas à cette actualisation financière (taux d’actualisation à ZÉRO), on va déterminer chaque année une probabilité de survie d’un individu l’année suivante (et cela quelles que soient les tables utilisées - TPRV93 ou TGF05), et en tirer un ratio qui aura tendance à diminuer progressivement d'année en année avec le temps.

Exemple, et à partir d’un individu actuellement survivant âgé de 67 ans (et en utilisant les TPRV93), on va avoir aux âges suivants (attention à TOUJOURS diviser par les survivants de l’âge à 67 ans) :
68 – (Surv68/Surv$67) = 0.9947
69 – (Surv69/Surv$67) = 0.9882
70 – (Surv70/Surv$67) = 0.9823
….
80 – (Surv80/Surv$67) = 0.8521
……
90 – (Surv90/Surv$67) = 0.5084
…..
100 – (Surv100/Surv$67) = 0.10375
……
110 – (Surv110/Surv$67) = 0.0006
….
113 – (Surv113/Surv$67) = 0.00001

On procède ensuite à l’addition de TOUTES ces probabilités annuelles et entre 67 (âge certain de survie) et 113 ans, je trouve pour ma part 21.973 ; puis, dans le principe on divise ensuite le capital constitué à l’âge de 67 ans par cette valeur pour obtenir la rente annuelle de base brute à servir.

J’espère donc que ces premières explications vont vous aider à débloquer votre application ….
Et on va en rester là pour l’instant !

Mais on pourra aussi développer les autres aspects (enfin on va l’espérer), liés au calcul d’une rente, si nécessaire !

Précision :
je ne suis pas actuaire, mais je me suis formé dans ce domaine, et ne suis pas non plus un expert en calculs mathématiques ... !

 

[fabienpelissier]

Bonjour paal,

Tout d'abord merci énormément pour cette réponse si détaillée. Je viens donc de comprendre mon erreur car en effet j'additionnais les Surv(x+1) / Surv(x) alors que dans votre calcul vous additionnez les Surv(x) / Surv(age) et cela change tout. En appliquant le décalage d'un an comme indiqué dans "l'énoncé" (donc en démarrant à 68 ans au lieu de 67) je tombe précisément sur le même résultat CQFD

Encore merci de cet éclairage.

Pour répondre à votre question il y a en effet une application pratique car j'ai remarqué il y a peu que la plupart des simulations qui me sont transmises par des compagnies sont bien souvent un peu "galvaudée" (vu que ce ne sont que des simulations et non un engagement contractuel je pense qu'ils "gonflent" un peu les chiffres dès fois) et comme j'adore les math je suis entrain de me réaliser des tableurs excel pour pouvoir me construire mes propres simulateurs dans les domaines qui m'intéressent. Bien sur je n'ai pas la prétention de faire quelque chose d'exhaustif mais cela me donnera des éléments de comparaison / vérification à minima ;-)

En tout cas merci encore pour cette si précieuse assistance.

 

[paal]

Bonjour paal,

Tout d'abord merci énormément pour cette réponse si détaillée. Je viens donc de comprendre mon erreur car en effet j'additionnais les Surv(x+1) / Surv(x) alors que dans votre calcul vous additionnez les Surv(x) / Surv(age) et cela change tout. En appliquant le décalage d'un an comme indiqué dans "l'énoncé" (donc en démarrant à 68 ans au lieu de 67) je tombe précisément sur le même résultat CQFD
Encore merci de cet éclairage.

Bonjour Fabien,

Eh bien voilà qui est fait !
Et surtout, maintenant vous allez pouvoir le faire avec les nouvelles tables en vigueur, car les TPRV93 ont été remplacées par des tables générationnelles (une table par année de naissance) et il convient de retenir celle des femmes (TGF05).

Par ailleurs, sur ce site vous devriez trouver une calculette assez bien faite qui sera de nature à vous permettre de vérifier toute simulation perso, avec faculté de faire évoluer une réversion, un taux technique, etc ...

Pour répondre à votre question il y a en effet une application pratique car j'ai remarqué il y a peu que la plupart des simulations qui me sont transmises par des compagnies sont bien souvent un peu "galvaudée" (vu que ce ne sont que des simulations et non un engagement contractuel je pense qu'ils "gonflent" un peu les chiffres dès fois) et comme j'adore les math je suis entrain de me réaliser des tableurs excel pour pouvoir me construire mes propres simulateurs dans les domaines qui m'intéressent. Bien sur je n'ai pas la prétention de faire quelque chose d'exhaustif mais cela me donnera des éléments de comparaison / vérification à minima ;-)

En tout cas merci encore pour cette si précieuse assistance.

Votre réaction est tout à fait compréhensible, et pour faire court, je m'en sers très régulièrement pour vérifier à partir de quand il est utile de préférer des retraits ponctuels annuels (équivalents au net FISCAL d'une rente classique, surtout comparée à celle d'un Perp), et à partir de quand il devient économiquement utile (ou voisin) d'opter pour une rente viagère ...

Bien entendu, cela fait intervenir plein de paramètres (rendement du contrat, fiscalité marginale applicable, risque d'évolution des PS, etc..), mais cela vaut le coup de se pencher sur la question !

 

[fabienpelissier]

Bien entendu, cela fait intervenir plein de paramètres (rendement du contrat, fiscalité marginale applicable, risque d'évolution des PS, etc..), mais cela vaut le coup de se pencher sur la question !

100% d'accord ;-)

Et surtout, maintenant vous allez pouvoir le faire avec les nouvelles tables en vigueur, car les TPRV93 ont été remplacées par des tables générationnelles (une table par année de naissance) et il convient de retenir celle des femmes (TGF05)

Ah bon ? Justement il me semblait que beaucoup de compagnies utilisaient toujours les TPRV93 car du fait de loi "paritaires" il était considéré comme une "ségrégation sexiste" d'utiliser des tables différentes homme/femme (ah ce bon vieux politiquement correct quand on y pense lol).

 

[paal]

Ah bon ? Justement il me semblait que beaucoup de compagnies utilisaient toujours les TPRV93 car du fait de loi "paritaires" il était considéré comme une "ségrégation sexiste" d'utiliser des tables différentes homme/femme (ah ce bon vieux politiquement correct quand on y pense lol).

Les compagnies peuvent éventuellement les utiliser en interne (notamment pour estimer rapidement leurs provisions mathématiques), car l'emploi d'une table unique est sans conteste un instrument plus simple à utiliser que des tables générationnelles (et sexuées qui plus est !)

Mais pour la conclusion d'une rente découlant d'un contrat, qui vise à convertir un capital en rente, elles doivent utiliser les tables de 2005, à ceci près qu'elles pouvaient retenir jusqu'en 2012, les tables masculines, et que depuis, elles doivent retenir les tables féminines pour tout le monde !

L'argument de la "ségrégation sexiste" n'a donc à présent plus aucun fondement, puisque tout le monde se trouve dorénavant traité de façon identique, et selon la même table pour une année donnée !

Ceci se trouve précisément documenté dans la page d'utilisation de la moulinette déterminant une rente, qui se trouve à

https://www.moneyvox.fr/retraite/calculatrice-rente-viagere.php

Vous avez également un onglet sur ce site qui vous donne le détail des nouvelles tables de survivance (TGH05 et surtout TGF05)

 

[fabienpelissier]

ok super.. Merci encore en tout cas.

Peut-être à bientôt sur ce forum

 

[paal]

Peut-être à bientôt sur ce forum

Peut-être et au plaisir !